Algebra

Del Pensamiento Aritmético al Lenguaje Algebraico.

Este Eje profundiza y amplía los aspectos de número, variable y relación proporcional propios de la Educación Básica, para plantear al Álgebra como un lenguaje que permite generalizar y expresar simbólicamente a los números y sus operaciones, y que posibilite, a su vez, la modelación de fenómenos y el planteamiento y resolución de situaciones que exigen del manejo formal de un lenguaje simbólico dotado de significados.

El Álgebra es, a la vez, un objeto de estudio en sí mismo y una forma de entender procesos de simbolización en matemáticas, ciencias y tecnologías: la fuerza del lenguaje algebraico radica en su capacidad de generalización que se expresa en el poder de la simbolización mediante variables y su manipulación, así la variable sirve para representar la edad de Pedro, la temperatura del cuerpo, el tiempo transcurrido, la conversión de moneda entre naciones, o la posición del móvil en una recta, pero también habla de manipulaciones de la variable en la construcción de múltiplos y submúltiplos, su doble, su mitad,… o a través de los desplazamientos o traslados, o bien como un cambio de escala, entre otras.

De este modo el estudiante estaría en condiciones de reconocer la importancia de las matemáticas para su vida, pues las estaría movilizando mediante el uso de un lenguaje para el reconocimiento de patrones, para arribar a su simbolización y la generalización que constituyen los Elementos del Álgebra Básica.

Contenido Central: Uso de las variables y las expresiones algebraicas. 

Contenidos Específicos: Tratamiento algebraico de enunciado verbales – “los problemas en palabras”: ¿cómo expreso matemáticamente un problema?, ¿qué tipo de simbolización es pertinente para transitar de la aritmética al álgebra?– 

Aprendizajes esperados: Transitan del pensamiento aritmético al lenguaje algebraico. Expresan de forma coloquial y escrita fenómenos de su vida cotidiana con base en prácticas.

Momento 1: Tránsito de la Aritmética al Álgebra 

Puede ser que a estas alturas las y los estudiantes probablemente no tienen acceso a recibos de honorarios, pero seguramente, en algún momento, se encontrarán con esta situación, por experiencia propia o de algún familiar.

Aquí se podría abrir un diálogo y una reflexión sobre ¿hasta qué punto esta situación se podría llevar a cualquier contexto?

                               

Retención de Impuestos

El Servicio de Administración Tributaria (SAT) es la institución encargada de aplicar la legislación fiscal y aduanera, con el fin de que las personas físicas y morales contribuyan proporcional y equitativamente al gasto público; de fiscalizar a los contribuyentes para que cumplan con las disposiciones tributarias y aduaneras; de facilitar e incentivar el cumplimiento voluntario, y de generar y proporcionar la información necesaria para el diseño y la evaluación de la política tributaria. Parece extraño todo esto, pero… cuando te gradúes y comiences a trabajar, quizás en una institución privada o pública, tendrás que realizar tu registro en el SAT como profesionista bajo el régimen de actividad profesional y empresarial (persona física). A la empresa, se la denomina persona moral, y te retendrá impuestos que se descontarán de tu sueldo. ¿Cómo ves si desde ahora aprendemos cómo es el proceso? ¿Cómo es que se hace esto? Comenzar a pensar en estos asuntos será muy importante para tu futuro empleo o para el actual empleo de tus familiares.

Los dos impuestos por los que se efectúan retenciones son el IVA (Impuesto del Valor Agregado) y el ISR (Impuesto Sobre la Renta). La relación de la retención por cada uno de ellos respecto de un importe por cobrar es la siguiente: Retención del ISR: 10% Retención del IVA: 2/3 partes del IVA Quien se encarga de prestar el servicio profesional tiene como obligación emitir un recibo de honorarios, en el cual se desglosan los montos de retención y el total por cobrar después de las retenciones. El monto neto por cobrar se obtiene restando las retenciones del IVA y el ISR al importe inicial con el IVA agregado (Subtotal). A continuación, se muestra un ejemplo del desglose en un recibo de honorarios para una persona que cobra la cantidad de $10,000 por un servicio profesional.

                                                

Como puedes observar del importe que se establece al inicio, existe una diferencia respecto a lo que en realidad se cobra (monto neto por cobrar). Como se menciona arriba, al subtotal (importe más el IVA) se le restan las retenciones del ISR y el IVA.

Esto significa que el prestador de servicio cobra $11,600 – ($1,000 + $1,66.7) = $9,533.33.

Actividad 

Imagina que por un servicio profesional recibirás un pago bruto de $35, 837.00 al cual hay que descontar las retenciones.

a. Completa el recibo de honorarios que habrá de emitirse:

                                              

Como se mostró en la tarea anterior, el monto inicial que se deseaba recibir se redujo al hacer las deducciones del IVA y el ISR. Entonces, si deseas que la cantidad neta a cobrar sea la misma que propongas al principio, ¿cómo hacerlo?

b. Por ejemplo, supón que deseas cobrar por un servicio $45,000 y que al final de todo el proceso de retención esta sea la cantidad neta que recibirás, es decir, que en el último apartado de “Monto neto por cobrar” queden los $45,000 ¿cómo deberían verse el resto de las cantidades del recibo de honorarios?.

                                                

Propón un método general para calcular el importe que debe escribirse en un recibo de honorarios para cualquier monto neto para cobrar.

Para profundizar 

En general esta actividad tiene como finalidad el producir un tránsito de una forma de pensamiento aritmético hacia una forma de pensamiento algebraico en un contexto cercano a lo real (considerando algunas variables de control)

En principio, la actividad se centra en el uso del cálculo de porcentajes, así como de la fracción como un operador multiplicativo. La idea es que una vez que se tenga una consciencia sobre el proceso que se sigue para calcular el monto neto a cobrar en el inciso a, se plantea una confrontación en el inciso b, que inducirá a la escritura y a pensar sobre la forma de coordinar y visualizar las relaciones involucradas. Esto último debido a que, se plantea un reto bastante complejo, pues las relaciones que han de establecerse entre las cantidades no son triviales.

Algunas estrategias de solución del inciso b, tienen carácter aritmético, puesto que se establecen relaciones proporcionales entre las cantidades involucradas para determinar un factor de proporcionalidad que permita calcular el importe solicitado.

                                                      

Si bien esta estrategia es adecuada, pues permite obtener una aproximación al valor deseado, esta puede emplearse cuando se tiene un ejemplo para comparar las razones. Sin embargo, la idea es generar una estrategia general que permita calcular cualquier valor, de manera general. Por esta idea se propone el inciso C.

Estrategia 

Se ha mostrado antes la estrategia aritmética que permite obtener el valor deseado. A continuación, mostramos una estrategia algebraica.

La relación entre las cantidades puede escribirse algebraicamente de la siguiente forma:

Donde 𝑥 es el importe que se desconoce debe ir al inicio para obtener el monto neto de $45,000.

Una forma de obtener el valor es resolver la ecuación que representa la relación entre la cantidad inicial y el monto neto. Así, simplificando la expresión algebraica se obtendría lo siguiente:

Lo cual es lo mismo que: (1.16−0.1067−.10)𝑥=𝑚𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑎𝑟

(0.9533)𝑥=𝑚𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑎𝑟,

Por lo tanto, el importe se calcula dividiendo el monto neto a cobrar por 0.9533:

Para recibir netos $45,000, habría que cobrar:

Entonces, el recibo saldría como se ve a continuación: